Del estudio de la propiedad triangular – Andén 82

Las ciencias duras son el cuco, para todos: alumnos, padres, docentes. Sin embargo, en los intersticios de esa dificultad aguarda el desafío de encontrar, a sabiendas, los propios mecanismos con los cuales hallar la respuesta en diálogo con otros. Un registro pedagógico en seis movimientos. Una clase de geometría en el séptimo grado de una escuela pública, donde niños y niñas muestran todo lo que saben y lo mucho que pueden aprender en un postergado arrabal porteño.

 I

Hace poco que arrancamos con geometría. Hoy comenzamos la mañana con un apacible trío de actividades. “Fáciles de enunciar, no tanto de resolver”, les digo y copio:

Construir un triángulo cuyos lados midan 10 cm, 8 cm y 5 cm

Construir un triángulo cuyos lados midan 6 cm, 7 cm y 8 cm

Construir un triángulo cuyos lados midan 10 cm, 4 cm y 5 cm

Comentamos brevemente qué significa “construir” y se ponen a trabajar. Milagros se acerca silenciosamente y pregunta: “Cuál de los números va abajo”. Aprovecho y hago notar a todos que la consigna no lo especifica, así que esa decisión queda a su criterio. Sin embargo, la disyuntiva sobre la base no les causa mayores temores.

Varios se acercan ordenadamente al encargado de materiales, quien cuenta con reglas, escuadras, compases y otros inútiles útiles de geometría atesorados en caja ad-hoc. No aviso, ni pienso avisar, qué instrumentos necesitan; decidirlo es parte de la solución. La necesidad y la estrategia deben llamar las herramientas; no, el caprichoso tronar del capataz.

Noto que pocos piden compás. Les basta con mover la regla en torno a un punto fijo, apoyando ambos en extremos del segmento elegido como base hasta lograr que los puntos se toquen. En efecto, el primer triángulo así les sale a casi todos.

Veo que la mayoría va por el segundo; algunos empiezan a crujir de malestar con el tercero y por eso interrumpo. Cuando reposan de sus trajines, les pido ante el silencio grupal que “porfa” me ayuden a construir el primer triángulo, porque intenté pero:

─No me salió, che.

II

─Miren ─ les digo, mientras lo hago en el pizarrón─: yo puse el lado de 10 en la base, como hicieron casi todos ustedes. Después tracé el de 8 y después el de 5. Pero no se me juntan…    

Natalia tiene la mano alzada y movediza desde “el buenos días”. Le doy la palabra y en tono condescendiente dice:

─Bajá el lado de 8, profe…

─Bueno, dale. Ahí lo bajo.

Con saña burlona me corrigen todos a la vez. La didáctica del zamarreo es más fuerte y algunos hasta se levantan a explicármelo físicamente. Hago un llamado a la concordia social y los desafío a explicar oralmente lo que todos sabemos que Natalia quiso decir, pero no dijo.

Martín, eximio cultor del idioma, intenta:

─Que bajes el lado que mide 8, profe, pero sin mover la regla de esa punta.

Iba a preguntar qué punta, pero sus miradas de tirria impaciente convirtieron mi interrogante en una afirmación:

─El “vértice” querés decir, ¿no?

Y lo dibujé tal como pidieron:

─Listo. Pero siguen sin tocarse; o sea que no se puede. ¡Ja! ¡Tenía razón yo! ─exclamo triunfante.

A esta altura ni las manos levantan, pero todos piden a los gritos que “baje” el lado de 5 también.

─¿Así?

─¡Noooo! ¡No tantoooo! ─vociferan.

Y trato de seguir sus indicaciones hasta que en el pizarrón queda un abanico inentendible bajo el cual, ellos dicen, se esconde un triángulo.

─Qué feo… ─comento frunciendo la nariz─ ¿Alguien me ayuda? Porque me perdí…

Entre el clamor de voces exaltadas, más parecido a la cámara de diputados que a un lugar donde se aprende, veo la mano tímida de Marcos que agita suave un compás. Vuelto el silencio, le pido que aporte algo.

─Mejor usá el compás, profe. ─Creyendo que con ese imperativo basta.

─A ver… ─Lo invito.

Y desarrolla la arquitectura de bóvedas carbónicas indicando dónde pinchar y cómo abrir para que la figura se determine sin andar marcando toda la hoja con rastros de limpiaparabrisas.

Queda así un somero acuerdo grupal de que el compás sirve para no andar “subiendo” y “bajando” la regla. Hay tanta unanimidad que ni parece hacer falta escribirlo.

Pero…

III

Volvemos del afiebrado intermezzo y continuamos con los otros dos triángulos. El tercero es la clave. Aparecen, como era de esperar, los “Me parece que ahí te equivocaste, profe”, en respetuoso susurro para solapar mi brutalidad. Aclaro a viva voz que no me equivoqué, que los números que puse son los que quise poner.

Mientras trabajan recorro los bancos. Me acerco a Iván, quien automáticamente me muestra su obra para el segundo ítem. Simulo una inspección, reglita en mano, y confirmo la precisión de las medidas. Como veo unas pequitas de carbón en la hoja le pregunto cómo hizo para saber dónde se cruzaban los lados. Me dice que fue “moviendo la regla”. Le pregunto si no podía haber usado el compás, como habíamos hecho recién. Y contesta con total naturalidad:

─Sí, claro. Pero con la regla es más cómodo.

Es decir que la aparición del instrumento no emana de su supuesta practicidad o eficiencia. Con regla les sale; lo resuelven fácil y bien. No les podemos imponer entonces una herramienta porque sí. Si a alguno le sirve, genial. Si no, el compás deberá aparecer más adelante, pero como recurso de necesidad geométrica, en tanto es el único que determina un trazo ideal ─o sea, una forma en el platónico mundo de las ideas donde no habita la corrupción de los sentidos, donde viven las abstracciones eternas que eventualmente se materializan, aquí y allá, imperfectas en el mundo sensible─. El compás permite la ejecución concreta de un ente ideal, un sitio del plano definido por propiedades racionales: justamente la circunferencia, figura amada del Filósofo Académico.[1]

Mientras vuelvo de la antigua Grecia, escucho a Santiago que grita:

─¡El último no se puede!

Me froto las manos y aprovecho su fama de perezoso (es cierto que Santi, bien dotado para razonamientos y argucias, suele sin embargo abandonar sus afanes ante el primer fracaso) y digo para todos:

─¡A vos no te salió! Pero, ¿estás seguro de que no se puede? Capaz que a otro ahora, en un rato, sí le sale.

Y él, también conocedor de su fatiga crónica, vuelve a intentarlo. Pero ya habilitó el reclamo en otros… Ahora es Paul quien se convierte en militante de la imposibilidad. Se acerca y me insiste en que acepte que el último triángulo no se puede construir. No cedo y le digo que si tiene razón, convenza a los demás. Así sale embalado a recorrer mesas predicando su verdad, hojita en mano.

Yolanda, una testigo de Paul, se acerca y pregunta:

─Profe, ¿por qué nos das algo que no se puede hacer?

Me apunta así con un cuestionamiento didáctico: no te equivocaste por distraído, cometiste un error pedagógico, parece decirme. Si en la escuela resolvemos lo que tiene solución, ¿qué me estará pidiendo este buen hombre?

Tras improvisar unas palabras en el aire, le respondo algo por el estilo:

─Es que saber que no se puede resolver ya es resolverlo ─digo, sosteniendo las palabras con aire de “máximas para Merceditas”.

Yolanda me mira impaciente esperando que desabroche el inédito trabalenguas. Agrego otro aforismo del corte: “La solución sería decir que no tiene solución”, y me escapo a otros pupitres repitiéndome el bálsamo de la cobardía pedagógica: “Ya lo van a entender”, “ya lo van a entender”.

IV

Cuando huelo que la mayoría acepta la imposibilidad de construir el último triángulo, arranco con la puesta en común. Pregunto quién lo hizo.

─Nadie ─gritan todos.

─¿Cómo que no? Entonces pónganse a hacerlo.

Y la quietud de manos levantadas da la pista de que van entendiendo por dónde anda la gracia. Le doy la palabra a Ludmila, quien afirma una negación:

─No se puede.

─¿“No se puede”? ¿O vos no pudiste? ¿Alguien podrá?

─No, profe: no-se-pue-de…

─¿Y cómo saben que no-se-pue-de? Capaz yo pude…

─A ver… ─me pregunta con hombro y todo.

─No. Está bien, yo tampoco pude. Pero lo que me interesa es saber por qué no se puede hacer.

Aparecen distintas explicaciones, bastante mancas, pese a ser todas con la mano. Varios dicen que “no se tocan” y mueven con sus deditos al compás del aire queriendo simular los lados de 4 y 5 centímetros. Mientras me pregunto internamente cómo dar el salto a la generalidad, Gabriel irrumpe con su desparpajo habitual y tira una frase veloz con destino de naufragio. La rescato de la tempestad de voces y anoto en el pizarrón:

Propongo analizar el flamante “teorema de Gabo”: simplemente que digan si está bien o no. Algunos asienten irreflexivamente (seguro está bien porque el profe lo anotó en el pizarrón; la tiza solo consigna verdades). Otros miran; varios dudan. Entonces pido un esfuercito más que nos ayudará a pensar la afirmación del compañero.

─Así después la anotamos en la hoja de conclusiones, ¿no? ─Acierta Érika, atenta mentalista de doce años.

V

Les pido que resuelvan en escasos minutos:

¿Cuáles de estos triángulos se pueden construir?

   10 cm, 8 cm y 3 cm                            8 cm, 4 cm y 2 cm

   9 cm, 3 cm y 5 cm                              9 cm, 3 cm y 7 cm

Sin dificultades, aprovechan los procedimientos antes compartidos y rápidamente se ponen de acuerdo en que hay dos que se pueden y dos que no. Estos casos, donde “no llegan a tocarse”, les permiten revisar la afirmación anterior, objeto de nuestro análisis.

Por eso invito a decidir:

─Entonces, ¿está bien lo que dijo Gabriel? ¿Lo copiamos así en las conclusiones?

Muchos votan rauda y positivamente, volviendo a simular el Parlamento. Doy un tiempo a los desconfiados valorando su actitud cartesiana. Natalia, que para hacer uno de los primeros triángulos había elegido como base un lado no mayor, toma nota de aquello y señala:

─En realidad habría que aclarar que la base es el lado mayor. ─Ajustando la proposición con envidiable claridad.

Los demás asienten demostrando que las palabras de Natalia venían a hacer explícito algo que estaba implícito, cualidad de gran parte de las ideas que circulan en una clase. La corrección da pie a Micaela, quien parecía necesitar un ilusorio permiso para discutir. Levanta la mano y dice:

─En realidad es la suma.

─¿Qué suma? ─pregunto, echando mano a la didáctica del opa.

─Que los lados sumados tienen que ser mayores que la base.

─Sí, claro ─dice Franco─: entre los dos tienen que ser mayores… ─Justificando la falta, como si lo escrito dijera más de lo que en realidad decía.

Es todo un desafío escribir ideas formulándolas de tal modo que enuncien exactamente lo que queremos que enuncien, y no menos. Porque el que escribe ya tiene la idea, pero el que la lee no. Quien escribe supone que el texto dice algo, pero tal vez no lo hace. El “teorema de Gabo” ─estoy seguro─ fue concebido correctamente por su mentor, pero falló al formularlo pues le faltaban precisiones. Aprender a redactar conclusiones es también un contenido matemático.

De modo que, tras una serie de tachones y flechitas agregadas, la frase queda:

Escalando la montaña de sentido acumulado, les cuento que eso tiene un nombre matemático: se llama “propiedad triangular”. Además hay otra manera de decirla, encarando por la positiva y relativizando la necesidad de una base. Anoto:

Y, tras confirmar abiertamente que dicen casi lo mismo, las copiamos orgullosos en la hoja de conclusiones.

Pero eso que era precioso moño, telón para una gran obra, es nuevamente cuestionado y convertido en objeto por un alma impiadosa maliciosamente impregnada de esa venenosa curiosidad infantil. Ni el timbre llega a tapar la pregunta de Martín:

─Pero…, ¿y si la suma es igual a la base…? ¿Se puede hacer el triángulo?

─¡Qué buena pregunta! ─Celebro apartándome la transpiración─. Después del recreo lo vemos ¿dale…?

Y señalándome las mochilas me recuerdan que es viernes, última hora.

VI

La organización didáctica de esta clase no es casualidad: responde a un camino basado en una concepción sobre cómo se construye el conocimiento. Para estar a la moda, llamaremos a esa concepción “constructivista”, con perdón del suizo.

Esta clase tuvo distintos momentos que ─se supone─ son coherentes con las fases del proceso de aprendizaje. Para estar fuera de la moda, entendemos el aprendizaje como un proceso “diálectico”, con perdón del alemán.

En criollo: no decidimos empezar por cualquier lado, no arrancamos definiendo la propiedad triangular para que la copien en sus carpetas; tampoco los pusimos a dibujar triángulos hasta que “solos” descubrieran una fórmula, ni les mostramos un catálogo de polígonos hasta que súbitamente indujeran lo que nosotros ya sabíamos.

Esta clase tuvo tres momentos: acción, reflexión y conceptualización. Dependiendo de la orilla o el distrito, también se pueden llamar: experiencia, formulación, sistematización; en francés también suelen aparecer madame validación y madmoiselle institucionalización. Más allá de los bautismos, lo importante es que para analizar lo sucedido (¡y no para prescribir lo que debe suceder!) nos sirve pensar con esos momentos o fases didácticas de la clase, aclarando que son categorías lógicas y no cronológicas, como desarrollaremos luego.

Hay pues un primer momento (la “acción” o “interacción” o “experiencia” o “actividad”) donde el sujeto (también llamado, en términos generales, “niño/a”; y en estos términos particulares, “Tucho”, “Piti” o “Lali”) interactúa con el objeto de conocimiento (también llamado, en términos generales, “contenido de enseñanza”; y en estos términos particulares, “propiedad triangular”). Esa primera interacción, en las clases de matemática, casi siempre es resolver un problema. Es decir, encontrar solución a una pregunta contando con algunos medios para hacerlo, pero no con todos. En este caso había que dibujar triangulitos. Para ello había que saber algo (poco, pero algo): qué es un triángulo y cómo medir los lados (una verdadera paponia). Pero no se sabía todo: hay una condición para que tres medidas se puedan combinar formando un triángulo. Eso es a lo que se quería llegar.

¿Y entonces, querido? ¿Por qué no empezamos por ahí y “chaupinela”? Pues bien: porque enunciar la propiedad triangular no es conocer la propiedad triangular. Conocer algo significa atribuirle sentido, y eso se logra transitando un recorrido y no repitiendo frases como cacatúa. Hay que atravesar un proceso, no empezar por el final; hay que construir el concepto, no aplicar recetas mecánicamente.

El segundo momento de la clase ─posterior al de “acción”─ es el de la reflexión colectiva, el de la puesta en común / puesta en palabras de esa primera acción para ser compartida con los demás. Es la formulación (decir lo que hice) que invita a la validación (decir por qué lo hice). Ellos cuentan cómo resolvieron y a qué apelaron para resolverlo. De esa manera el conocimiento utilizado implícitamente pasa al estado imprescindible para ser intercambiado: se hace explícito, se pone en palabras. Así, se sublima esa sustancia etérea que la clase estaba respirando.

De paso cañazo, ejercitamos ese aspecto fundamental de la alfabetización popular que consiste en recuperar, dar cauce y desarrollar la propia voz, la construcción y conquista de la palabra propia, en oposición a la tan extendida reiteración de discursos ajenos, verbos y sustancias para miradas contrarias del mundo.

¿Y el maestro entonces? ¿Pa´ qué está? ¿Es solo un administrador de actividades, un policía de distraídos y un ágil coordinador de panel televisivo?

No solamente. Está porque es fundamental para las fases de acción y formulación: escuchando y devolviendo, mirando y sugiriendo, ayudando y alentando, sosteniendo la resolución y marcando contradicciones. Pero está especialmente porque es imprescindible para la tercera fase: la conceptualización. Este es el momento donde obtenemos y registramos conclusiones, donde el maestro se hace cargo de “institucionalizar” el conocimiento que anduvo circulando en el aula. Le ponemos nombre, lo enunciamos de la mejor manera posible, lo conectamos con ideas anteriores y lo desprendemos paulatinamente del contexto en que surgió, vinculando lo particular con lo general. Es una síntesis dialéctica (¡oh!) de las fases anteriores: una reunión de los elementos que surgieron en esos dos momentos complementarios y contradictorios en una nueva instancia superadora. Acción y reflexión se transforman en concepto. Es ─dicho a lo bestia─ cuando hacemos teoría a partir de una práctica. Es, con menos ínfulas, cuando resumimos en afirmaciones precisas las ideas que estuvimos trabajando.

En suma: tres momentos, tres fases, tres instancias para una clase, para una didáctica. Fases, instancias, momentos, pero no “etapas”, porque no van una arriba de la otra, separadas y recortadas como ladrillos de una pared. Cada una contiene a las anteriores y a la vez habita en ellas. En el registro de nuestra clase, la acción predomina en el apartado I; la formulación en el II; en el III regresa a la fase de acción y en el IV comienza con la conceptualización para en el V volver a la acción y la formulación de modo que nos permita cerrar la conceptualización. Cada momento en diálogo con los otros, para nutrirse, para terminar muriendo lo viejo y así acabar pariendo lo nuevo.

No hay conceptualización si no hubo previamente una experiencia, una exploración, una interacción con el objeto y luego una reflexión colectiva sobre esa experiencia. No hay aprendizaje sin práctica, pero la mera práctica no deriva directamente en aprendizaje. No hay aprendizaje sin la intervención del docente, pero tampoco lo hay sin la actividad del alumno.

Ni dictado magistral, ni activismo irreflexivo:

¡Acción, Reflexión y Conceptualización!

¡Y Viva Piaget, carajo!■

^[1] Don Platón adoraba la geometría. Dicen que dicen, escribió en las puertas de la Academia de Atenas: “No entre quien no sepa geometría”. La circunferencia y la esfera eran sus figuritas preferidas, porque mantenían la identidad en el devenir: por más que las hagamos rodar no cambian, siguen siendo ellas.